22. ledna 2012

432 faktoriál

Harshad alias Nivenovo číslo (jak správně česky? harshadické? určitě ne Harshadovo, neboť to není ten případ) je takové celé číslo, že je dělitelné svým ciferným součtem. Nejmenší netriviální Harshad číslo v desítkové soustavě je 12, protože je dělitelné součtem 1 + 2. Následuje 18, 20, 21... (Čísla od jedničky do devítky jsou Harshad automaticky, neboť jsou identické se svým ciferným součtem; desítka a její mocniny také automaticky, protože ciferný součet je 1.)

Pro ty, kdo si rádi hrají s čísly, to je zajímavé samo o sobě, ale proto to nepíšu. Jde mi o jinou věc. Vezměte si řadu faktoriálů:

1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, a tak dále.

Všechno to jsou Harshad čísla. A kdybyste v té řadě pokračovali, bude to tak stále. Ověřování by vás asi rychle přestalo bavit, už 30! je řádu 1032 a spolehlivě zjistit všechny jeho číslice s běžnými nástroji je obtížné. Podstatné ale je, že byli takoví, kdo nelenili. A tak se zjistilo, že ne všechny faktoriály jsou Harshad čísly. Nejmenší, kde to neplatí, je 432!, číslo řádu 10952.

Tolik ke spolehlivosti indukce a smyslu pochybnosti.

(Inspirace: Fifty na blogu Tylera Cowena.)

10 komentářů:

Aichi řekl(a)...

Pokud je harshadovym cislem 20, pak prvnim cislem je 10 a ne 12, nebo se pletu

bver řekl(a)...
Tento komentář byl odstraněn autorem.
Yuhů řekl(a)...

Spolehlivost indukce tímto nedělitelným číslem není narušena. Právě proto, že žádná indukce nebyla pro důkaz provedena. Myšlenka ve znění "pro všechny nízké faktoriály to platí" právě není indukcí.

bver řekl(a)...

Další zajímavý příklad, kdy nějaké tvrzení platí "pro hodně vysoká čísla a pak najednou ne" je

http://cs.wikipedia.org/wiki/Skewesovo_%C4%8D%C3%ADslo

Číslům je dost jedno, že my se psychologicky pohybujeme stále blízko nuly. :-)

akb řekl(a)...

Yuhů: spolehlivosti indukce v matematickém smyslu se to samozřejmě netýká. Spolehlivosti „indukce“, jak ji většina z nás denně vědomě i nevědomě používá, se to týká velmi.

Aichi: ano, však to tam taky tak je napsáno :)

bver: taky dobrý! Představa těch dvou funkcí, jak se plazí do nekonečna a pak se potkají...

Radek Šembera řekl(a)...

@Aichi: 12 je nejmenší "Netriviální" Harshad číslo v desítkové soustavě. Samozřejmě kdyby se používali i triviální, tak je první číslo 1.

Tigr řekl(a)...

Opravdu čtverácký druh čísel: v desítkové soustavě je 432! modulo ciferný_součet(432!) = 432. Ve dvojkové soustavě je 432! harshadické, ale faktoriály tam moc nenesou, už 10! zklame.

Arnošt Štědrý řekl(a)...

z podobneho soudku je http://en.wikipedia.org/wiki/P%C3%B3lya_conjecture

vitsoft řekl(a)...

Asi jste inspirovali kapacitu Hynka Bílu, který si dnes taky zajímavě zafilosofoval o ošidnosti indukce: http://koroptew.blogspot.com/2012/01/filosoficke-pseudoproblemy-zedry-moleny.html

Arnošt Štědrý řekl(a)...

jeste mne napadla Collatzova domnenka (ta se demonstruje na vsech kurzech programovani)
http://en.wikipedia.org/wiki/Collatz_conjecture
o ktere tenhle clovek tvrdi, ze ji dokazal:
http://preprint.math.uni-hamburg.de/public/papers/hbam/hbam2011-09.pdf

a goodsteinova veta:
http://en.wikipedia.org/wiki/Goodstein's_theorem
ktera plati, pokud predpokladame axiom nekonecna, zatimco v teoriich bez tohoto axiomu ne